I regolatori PID

Controllare un sistema vuol dire quindi effettuare una regolazione su di esso, regolazione che può essere effettuata con tecniche diverse.

Infatti i sistemi possono essere controllati adottando i seguenti metodi di regolazione:

Regolatori ad AZIONE PROPORZIONALE (P)
Regolatori ad AZIONE INTEGRATIVA (I)
Regolatori ad AZIONE PROPORZIONALE-INTEGRATIVA (PI)
Regolatori ad AZIONE PROPORZIONALE-DERIVATIVA (PD)
Regolatori ad AZIONE PROPORZIONALE-INTEGRATIVA-DERIVATIVA (PID)

Dal momento che il regolatore impiegato per controllare la velocità del motore in c.c., nell'applicazione proposta, è ad azione PID, occupiamoci più da vicino di questa tecnica.

L’azione effettuata da un regolatore PID avviene in tre tempi:

prima si attiva una regolazione di tipo derivativa, poi subentra la regolazione proporzionale ed infine la regolazione integrativa.

La legge che identifica tale schema è la seguente:

a(t) = Kp e(t) + Ki ∫ e(t) dt + Kd de(t)/dt

dove troviamo Kp che indica il guadagno del regolatore proporzionale, e(t) rappresenta il segnale errore, Ki indica il guadagno del regolatore integrativo, Kd indica il guadagno del regolatore derivativo.

L’azione operata dal regolatore PID analizzandola nella risposta in frequenza é quella di inserire nel sistema un polo nell’origine (aumentando quindi il tipo) e due zeri (che contribuiscono a migliorare la stabilità), i quali sono normalmente reali e distinti.

Questo effetto prodotto è ben visibile nel diagramma di Bode riportato nella figura seguente:

REGOLAZIONE PID CON GRANDEZZE DISCRETE

Quello appena analizzato è un controllo PID di tipo analogico ma se il controllo del motore avviene tramite elaboratore, bisogna riportare l’equazione prima descritta dal dominio delle frequenze al dominio del tempo discreto.

Questo procedimento fa si che i regolatori PID passino da analogici a digitali.

Per effettuare la “conversione” si devono eseguire l’integrazione numerica e la derivazione numerica.

Per eseguire l’integrazione numerica si ricorre al metodo di integrazione di Eulero o rettangolare dove il segnale analogico e(t) viene approssimato ad una serie di rettangoli con base pari al periodo di campionamento T.

Partendo quindi da questa approssimazione possiamo calcolare l’area del rettangolo dell’istante successivo come la somma del valore precedente più l’area del nuovo rettangolo; chiamando con

i [(n+1)T] l’integrale dell’istante successivo e con

i [nT] il valore precedente abbiamo:

i [(n+1)T] = i [nT] + T * e [(n+1)T]

Per quanto riguarda invece la derivazione numerica si assume come derivata la pendenza della retta che unisce i due punti dell’intervallo di tempo considerato; quindi tramite Laplace avremo:

L [(n+1)T] = (e [(n+1)T] - e (nT) ) / T

Per valutare la derivata si utilizza sia il campione attuale (istante [(n+1)T] ) sia quello precedente (questo metodo è chiamato delle differenze all’indietro).